Les jumeaux de Langevin

Appelons les jumeaux Sédentaire et Voyageur.
Sédentaire reste sur Terre tandis que Voyageur part vers une étoile E située à 10 années-lumière en voyageant à 90 % de la vitesse de la lumière, soit 270000 km/s, puis il revient sur terre à la même vitesse.

A son retour l’horloge de Sédentaire a battu 22,2 ans et l’horloge de Voyageur a battu 9.68 ans.
Comment est-ce possible ?

Le coefficient de dilatation du temps dans cet exemple vaut 0,436.
C’est-à-dire que lorsque Sédentaire lit « une seconde» sur son horloge, il lit « 0,436 seconde» sur l’horloge de Voyageur qui s’éloigne à 0,9 c. Et vice versa.

En fait, les diagrammes d’espace-temps permettent de résoudre graphiquement le problème, sans aucun calcul numérique ! Il suffit en effet de prendre pour unité de distance l’année-lumière et pour unité de temps l’année.
Les trajets des rayons lumineux sont alors les droites inclinées à 45° (pointillés rouges).
Ils définissent le « cône de lumière ». Toutes les autres trajectoires possibles (en bleu pour celle de Voyageur, en vert pour celle de Sédentaire) sont inclinées de moins de 45° par rapport à la verticale.

Ainsi, les deux aspects du paradoxe sont résolus de façon évidente par ces diagrammes d’espace-temps.

a ; Aller; ce que mesure Voyageur.

En principe. Il «faut » 11.1 ans pour parcourir 10 a,l. à la vitesse de 0,9 c.
Cependant, d’après son horloge. Voyageur parvient en E au bout de seulement 4,84 années (11,1 x 0,436).
En outre, arrivé en E, Voyageur voit la Terre telle qu’elle était en 0’, c’est-à-dire 1,1 année après son départ dans l’horloge de Sédentaire.

Conclusion : Voyageur a vu l’horloge de Sédentaire battre 4,36 fois plus lentement.

b :Aller; ce que mesure Sédentaire.

Sédentaire sait que, au bout de 11,1 années, Voyageur a dû arriver en E. Toutefois, Les rayons lumineux envoyés de E mettent 10 ans à lui parvenir, en E’. Sédentaire ne voit donc Voyageur arriver en E qu’au bout de 21,1 années.

Conclusion : Sédentaire a vu l’horloge de Voyageur battre 4.36 fois plus lentement.

1) Pourquoi le temps propre de Voyageur est-il plus court que celui de Sédentaire ?

On dit souvent que c’est à cause des accélérations et décélérations, que doit subir Voyageur pour quitter Sédentaire en 0, faire demi-tour en E et retrouver Sédentaire en R. Notons toutefois que les phases d’accélération en O et de décélération en R peuvent être supprimées si l‘on considère que les trajectoires de Voyageur et de Sédentaire se croisent sans s’arrêter, leurs horloges étant comparées seulement lors de leur croisement.
Reste le nécessaire changement de direction en E, se traduisant par une accélération de Voyageur. Mais c’est plutôt la géométrie particulière de l’espace-temps relativiste qui est responsable de la différence des temps propres.

Voyons pourquoi. Dans l’espace ordinaire, le théorème de Pythagore indique que DZ²= DX² + DY² comme dans n’importe quel triangle rectangle, ce qui implique que DZ < DX + DY.

Dans l’espace-temps de la relativité restreinte (dit de Poincaré Minkowski), le théorème de Pythagore devient DS²= DX² + c²DT², et une petite manipulation algébrique permet d’en déduire que ?S est toujours plus long que DX + cDT !

DS mesure justement le temps propre ; on voit bien qu’il s’annule pour DX = cDT, autrement dit pour v = DX/cDT = c. En ce sens, le photon, grain de lumière, ne vieillit jamais…

2) Pourquoi la situation globale n’est-elle pas symétrique ?

Durant le voyage aller, les situations sont parfaitement symétriques car les deux référentiels inertiels de Voyageur et Sédentaire sont en translation uniforme à vitesse relative v (fig. a et b). De même, durant le voyage retour, les situations sont parfaitement symétriques car les deux référentiels inertiels de Voyageur et Sédentaire sont en translation uniforme à vitesse relative – v (fig. c et d).
Si l’on considère le voyage complet, les trajectoires sont physiquement asymétriques car, en E, Voyageur – après avoir modifié sa vitesse, donc subi une accélération – a changé de référentiel inertiel (fig. e).